• Обзоры

Расчет и разбивка переходных кривых

Расчет переходной кривой из условия въезда на круговую кривую с расчетной скоростью

Переходные кривые устраиваются на кривых малого радиуса для повышения безопасности движения и удобства управления автомобилем. В качестве переходных кривых применяются различные математические кривые с постепенно уменьшающимся радиусом кривизны от бесконечности до радиуса круговой кривой.
Наиболее часто используется клотоида (радиоидальная спираль), уравнение которой

где     ρ – радиус кривизны;
S – расстояние от начала клотоиды до данной точки;
A – параметр  клотоиды, равный ;
R – радиус кривизны конца клотоиды и круговой кривой;
L – длина  переходной кривой (клотоиды).

Длина переходной кривой определяется из требования, чтобы величина нарастания центробежного ускорения ј не превышала 0.2-0.5 м/с3, по формуле

где  v   – расчетная скорость, км/ч,
47 – коэффициент, приводящий размерности к м.

Чем меньше j, тем плавнее переход с прямого участка на кривую. Полученные по расчету величины L должны быть не менее рекомендованных СНиП.
Прежде чем приступить к разбивке переходной кривой, необходимо проверить, возможно ли произвести ее разбивку. Для этого требуется определить значение угла β по формуле

Если окажется, что центральный угол круговой кривой α больше двух углов β, разбивка переходной кривой возможна. В том случае, когда 2β>α, потребуется или уменьшить длину переходной кривой, или увеличить радиус круговой кривой, или изменить значения этих элементов одновременно в зависимости от местных условий.
После определения длины переходной кривой производят расчет элементов всего закругления, определение координат переходной кривой и оформление чертежа.
Последовательность расчета:
1. Определяют значение t – расстояния от начала переходной кривой до перпендикуляра, опущенного из центра круговой кривой на линию тангенсов,

t = x_к – R sin β,

где x_к – абсцисса конца переходной кривой.
 Значение абсциссы x_К и ординаты y_К переходной кривой определяются по формулам

где с = LR – параметр клотоиды.

1. Определяют расстояние смещения круговой кривой

3. Определяют длину нового тангенса

T_н=(R+p)tgα/2+t

4. Определяют величину новой биссектрисы

Б_н=Б+р

5. Определяют длину новой круговой кривой

6. Определяют полную длину закругления

К_з=К_н+2L

7. Определяют пикетажное положение основных точек закругления.

Начало закругления: НЗ=ВУ-Т_н
Начало круговой кривой: НКК=НЗ+L
Конец круговой кривой: ККК=НКК+К_н
Конец закругления: КЗ=ККК+L, или КЗ=НЗ+К₃

При выполнении чертежа переходной кривой может быть принят масштаб 1:1000 или 1:2000 в зависимости от размеров элементов закругления.
 Детальную разбивку оси закругления в плане выполняют следующим образом:
1. Вычисляют координаты переходной кривой и определяют соответствующие пикетные положения точек переходной кривой. Координаты переходной кривой могут быть вычислены по формулам, таблицам или с применением ЭВМ. Формулы для расчета координат имеют вид

где S – длина участка кривой.
При этом, чем короче эти участки, тем точнее будет построена переходная кривая. Так, при длине переходной кривой 100 м можно разделить ее на 10 участков по 10 м. Тогда значения координат (абсцисса x и ордината y) будут вычисляться при S, равном 10, 20, 30,….90 м. Значения x₁₀ и y₁₀, т.е. координат конца переходной кривой (L=100 м), определены ранее (x_к и x_к).
В таблицах по отношению l=S/A определяют координаты x_табл, y_табл для параметра А=100. Фактические координаты x и y получают умножением табличных значений на параметр А/100. Длины участков кривой S, как при расчете по формулам, принимают равными  ,  и т.д., где n- число участков, на которые разбивается переходная кривая.

2. Начало координат для детальной разбивки круговой кривой принимают на расстоянии Т от вершины угла, т.е. в начале круговой кривой, вычисленном без учета вписывания переходной кривой.

2. Координаты круговой кривой вычисляют по формулам

x=Rsinβ,     y=R(1-cosβ)

где β – центральный угол, стягивающий дугу длиной S,

Целесообразно координаты круговой кривой определять по таблицам.
Ординаты круговой кривой вычисляют с учетом сдвижки Р переходной кривой по формуле

y=y_табл+Р

Расчет клотоидных кривых

При проектировании дорог в последние годы широко используются переходные кривые большой длины как самостоятельный элемент трассы, наравне с прямыми и кривыми. При близком расположении углов поворота трасса дороги может состоять из сопрягающихся круговых и переходных кривых, практически без прямых вставок. Такую трассу называют «клотоидной».
Правильное применение клотоидной трассы не приводит к значительному удлинению ее, обеспечивает большие удобства движения и, как правило, не влечет за собой увеличения объемов земляных работ.
Для обеспечения зрительной плавности трассы при радиусах от 1000 до 3000 м параметр должен быть в пределах от 0.4 до 1.4 R. При этом длина переходной кривой должна быть не менее ¼ длины круговой кривой.
При сопряжении переходными кривыми обратных S-образных кривых желательно, чтобы обе переходные кривые имели одинаковый параметр А, если соотношение между радиусами сопрягаемых кривых

R₁ ≥ 3R₂

При сопряжении переходными кривыми круговых кривых, направленных в одну сторону, должны соблюдаться соотношения при R1 2R2

0.5R₁ < A 2

При R₁ ≤R₂ кривые могут сопрягаться непосредственно.
Для проектирования и разбивки клотоидной трассы изданы таблицы.
Возможны несколько способов вписывания клотоидных кривых в закругление:
а) симметричная биклотоида, состоящая из двух переходных кривых равной длины без круговой вставки.
При известном угле α и радиусе R элементы биклотоиды получают умножением значений, приведенных в таблице на величину R/100, поскольку в таблице приведены значения биклотоиды при R=100 м. При известном угле α и величине тангенса Т элементы клотоиды получают умножением табличных значений на величину  T/T_табл, где Т_табл – табличный тангенс, соответствующий углу α.. В этом случае

R=100 T/T_табл

б) несимметричная биклотоида, состоящая из двух переходных кривых разной длины без круговой вставки.
При известном соотношении тангенсов T1/T2 по номограмме определяют углы β₁ и β₂=α–β₁
Значения элементов первой клотоиды определяют умножением табличных значений, соответствующих углу β₁, на величину Т₁/T_табл1.. Значения элементов второй клотоиды определяют умножением табличных значений, соответствующих углу β на величину Т₂/T_табл2
Величину радиуса рассчитывают по формуле

где L₁, L₂ – значения соответственно первой и второй клотоид. Длина несимметричной биклотоиды равна К=L₁+L₂
Если известны угол α, радиус R и величина дополнительного тангенса t одной из клотоид, то по величине t_табл=t100/R определяют угол β₁ и все элементы первой клотоиды – умножением табличных значений на величину R/100. Затем по углу β₂=α-β₁ определяют аналогично элементы второй клотоиды.
Тангенсы закругления, представляющего несимметричную биклотоиду, вычисляются по формулам

в) круговая кривая с симметричными переходными кривыми.
При известном R и t переходной кривой угол β, длина переходной кривой L и сдвижка P определяются, как и в случае проектирования несимметричной биклотоиды, по величине t_табл=t100/R умножением табличных значений на величину R/100.
Остальные элементы закругления вычисляются по формулам для разбивки круговых кривых при радиусе R₀=R+P.

А знаете ли Вы, что:

В Северном Китае гусеницы остановили поезд. Полчища насекомых пересекали железнодорожное полотно. Машинист вынужден был остановить товарный состав на три часа. Всего гусеницы покрыли около километра путей. Продолжить движение поезд смог только после того, как рабочие с лопатами и метлами очистили рельсы от насекомых.