• Обзоры

Расчет и разбивка переходных кривых

Расчет переходной кривой из условия въезда на круговую кривую с расчетной скоростью

Переходные кривые устраиваются на кривых малого радиуса для повышения безопасности движения и удобства управления автомобилем. В качестве переходных кривых применяются различные математические кривые с постепенно уменьшающимся радиусом кривизны от бесконечности до радиуса круговой кривой.
Наиболее часто используется клотоида (радиоидальная спираль), уравнение которой

где     ρ – радиус кривизны;
S – расстояние от начала клотоиды до данной точки;
A – параметр  клотоиды, равный ;
R – радиус кривизны конца клотоиды и круговой кривой;
L – длина  переходной кривой (клотоиды).

Длина переходной кривой определяется из требования, чтобы величина нарастания центробежного ускорения ј не превышала 0.2-0.5 м/с3, по формуле

где  v   – расчетная скорость, км/ч,
47 – коэффициент, приводящий размерности к м.

Чем меньше j, тем плавнее переход с прямого участка на кривую. Полученные по расчету величины L должны быть не менее рекомендованных СНиП.
Прежде чем приступить к разбивке переходной кривой, необходимо проверить, возможно ли произвести ее разбивку. Для этого требуется определить значение угла β по формуле

Если окажется, что центральный угол круговой кривой α больше двух углов β, разбивка переходной кривой возможна. В том случае, когда 2β>α, потребуется или уменьшить длину переходной кривой, или увеличить радиус круговой кривой, или изменить значения этих элементов одновременно в зависимости от местных условий.
После определения длины переходной кривой производят расчет элементов всего закругления, определение координат переходной кривой и оформление чертежа.
Последовательность расчета:
1. Определяют значение t – расстояния от начала переходной кривой до перпендикуляра, опущенного из центра круговой кривой на линию тангенсов,

t = x_к – R sin β,

где x_к – абсцисса конца переходной кривой.
 Значение абсциссы x_К и ординаты y_К переходной кривой определяются по формулам

где с = LR – параметр клотоиды.

1. Определяют расстояние смещения круговой кривой

3. Определяют длину нового тангенса

T_н=(R+p)tgα/2+t

4. Определяют величину новой биссектрисы

Б_н=Б+р

5. Определяют длину новой круговой кривой

6. Определяют полную длину закругления

К_з=К_н+2L

7. Определяют пикетажное положение основных точек закругления.

Начало закругления: НЗ=ВУ-Т_н
Начало круговой кривой: НКК=НЗ+L
Конец круговой кривой: ККК=НКК+К_н
Конец закругления: КЗ=ККК+L, или КЗ=НЗ+К₃

При выполнении чертежа переходной кривой может быть принят масштаб 1:1000 или 1:2000 в зависимости от размеров элементов закругления.
 Детальную разбивку оси закругления в плане выполняют следующим образом:
1. Вычисляют координаты переходной кривой и определяют соответствующие пикетные положения точек переходной кривой. Координаты переходной кривой могут быть вычислены по формулам, таблицам или с применением ЭВМ. Формулы для расчета координат имеют вид

где S – длина участка кривой.
При этом, чем короче эти участки, тем точнее будет построена переходная кривая. Так, при длине переходной кривой 100 м можно разделить ее на 10 участков по 10 м. Тогда значения координат (абсцисса x и ордината y) будут вычисляться при S, равном 10, 20, 30,….90 м. Значения x₁₀ и y₁₀, т.е. координат конца переходной кривой (L=100 м), определены ранее (x_к и x_к).
В таблицах по отношению l=S/A определяют координаты x_табл, y_табл для параметра А=100. Фактические координаты x и y получают умножением табличных значений на параметр А/100. Длины участков кривой S, как при расчете по формулам, принимают равными  ,  и т.д., где n- число участков, на которые разбивается переходная кривая.

2. Начало координат для детальной разбивки круговой кривой принимают на расстоянии Т от вершины угла, т.е. в начале круговой кривой, вычисленном без учета вписывания переходной кривой.

2. Координаты круговой кривой вычисляют по формулам

x=Rsinβ,     y=R(1-cosβ)

где β – центральный угол, стягивающий дугу длиной S,

Целесообразно координаты круговой кривой определять по таблицам.
Ординаты круговой кривой вычисляют с учетом сдвижки Р переходной кривой по формуле

y=y_табл+Р

Расчет клотоидных кривых

При проектировании дорог в последние годы широко используются переходные кривые большой длины как самостоятельный элемент трассы, наравне с прямыми и кривыми. При близком расположении углов поворота трасса дороги может состоять из сопрягающихся круговых и переходных кривых, практически без прямых вставок. Такую трассу называют «клотоидной».
Правильное применение клотоидной трассы не приводит к значительному удлинению ее, обеспечивает большие удобства движения и, как правило, не влечет за собой увеличения объемов земляных работ.
Для обеспечения зрительной плавности трассы при радиусах от 1000 до 3000 м параметр должен быть в пределах от 0.4 до 1.4 R. При этом длина переходной кривой должна быть не менее ¼ длины круговой кривой.
При сопряжении переходными кривыми обратных S-образных кривых желательно, чтобы обе переходные кривые имели одинаковый параметр А, если соотношение между радиусами сопрягаемых кривых

R₁ ≥ 3R₂

При сопряжении переходными кривыми круговых кривых, направленных в одну сторону, должны соблюдаться соотношения при R1 2R2

0.5R₁ < A 2

При R₁ ≤R₂ кривые могут сопрягаться непосредственно.
Для проектирования и разбивки клотоидной трассы изданы таблицы.
Возможны несколько способов вписывания клотоидных кривых в закругление:
а) симметричная биклотоида, состоящая из двух переходных кривых равной длины без круговой вставки.
При известном угле α и радиусе R элементы биклотоиды получают умножением значений, приведенных в таблице на величину R/100, поскольку в таблице приведены значения биклотоиды при R=100 м. При известном угле α и величине тангенса Т элементы клотоиды получают умножением табличных значений на величину  T/T_табл, где Т_табл – табличный тангенс, соответствующий углу α.. В этом случае

R=100 T/T_табл

б) несимметричная биклотоида, состоящая из двух переходных кривых разной длины без круговой вставки.
При известном соотношении тангенсов T1/T2 по номограмме определяют углы β₁ и β₂=α–β₁
Значения элементов первой клотоиды определяют умножением табличных значений, соответствующих углу β₁, на величину Т₁/T_табл1.. Значения элементов второй клотоиды определяют умножением табличных значений, соответствующих углу β на величину Т₂/T_табл2
Величину радиуса рассчитывают по формуле

где L₁, L₂ – значения соответственно первой и второй клотоид. Длина несимметричной биклотоиды равна К=L₁+L₂
Если известны угол α, радиус R и величина дополнительного тангенса t одной из клотоид, то по величине t_табл=t100/R определяют угол β₁ и все элементы первой клотоиды – умножением табличных значений на величину R/100. Затем по углу β₂=α-β₁ определяют аналогично элементы второй клотоиды.
Тангенсы закругления, представляющего несимметричную биклотоиду, вычисляются по формулам

в) круговая кривая с симметричными переходными кривыми.
При известном R и t переходной кривой угол β, длина переходной кривой L и сдвижка P определяются, как и в случае проектирования несимметричной биклотоиды, по величине t_табл=t100/R умножением табличных значений на величину R/100.
Остальные элементы закругления вычисляются по формулам для разбивки круговых кривых при радиусе R₀=R+P.

А знаете ли Вы, что:

… Пушкину некто К** рассказывал, «что будучи однажды послан курьером от князя Потемкина к императрице, он ехал так скоро, что шпага его, высунувшись концом из тележки, стучала по верстам, как по частоколу». (Прим. 43 к Е.О.)